1963年，洛倫茲用蝴蝶效應形象地展現出了混沌的魅力：亞馬遜熱帶雨林中的一只蝴蝶偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以后引起美國得克薩斯州的一場龍卷風。正所謂“失之毫厘，謬以千里”，混沌理論告訴我們，即使人類掌握了確定性規則，依舊無法擁有預測未來的能力。本文從混沌的天氣預測實驗開始，介紹了混沌理論和實例：從分岔到分形，從樹木、血管這些自然界的實例，到量子混沌再到人類的意識。
撰文 | Irfan Bashir, Hamid Rashid Shah
翻譯 | 牛曉杰
(資料圖片)
審校 | 梁金
1. 一個混沌理論的實驗
在60年前一個寒冷的冬天，愛德華·洛倫茲正在他的電腦上進行一個天氣模式模擬的實驗。在輸入了一些數字之后，他出去喝了杯咖啡。等到他10分鐘后再次回來的時候，發現一些古怪的結果。由此他發現了后來著名的混沌理論——一個將永遠改變科學的發現！
他的電腦模型是12個變量的組合，每一個變量代表天氣的一個方面，諸如溫度和風速。洛倫茲當時正在重復他之前的模擬。然而，當洛倫茲把他程序里的變量從0.506127四舍五入成0.506時，未來兩個月的整個天氣預測模式都完全改變了。在正常參數下，給定相同的起點，天氣每次都會以相同的模式展開。而給定一個稍微不同的起點，天氣應該以稍微不同的模式展開。四舍五入造成的誤差肯定是微不足道的，它不應該造成什么大規模的影響。
在那個時期，科學的假設是，只要了解物理定律和系統的初始條件，就可以計算出一個封閉系統的大致行為。科學思維是，另一個星球上樹葉的掉落不會影響到地球上臺球的運動。人們相信，小的變化不會造成大的影響。法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在1814年出版的《概率哲學論文》（A Philosophical Essay on Probabilities）中說，如果我們知道宇宙目前的一切，那么“沒有什么是不確定的，未來就像過去一樣，會毫無保留的呈現在‘我們’眼前”。
但是，在洛倫茲的特殊微分方程系統中，隨著時間的推移，小的錯誤會造成深不可測的變化。這些問題凝視著他，但他并沒有答案。是否簡單的模型可以產生顯著的隨機性？是否在一個系統中的簡單模型會在另一個系統產生復雜性？是否隨機性并不是模糊測量的副產品，而是一種常態？是否混沌并不是人類觀察局限性的結果，而就是自然的底層法則？
圖.運行了兩個月的兩個模擬天氣斑圖
這個出乎意料的結果使洛倫茲意識到，小的改變可以造成大的影響——這是對自然運轉方式的強有力洞察。這個想法被稱為“蝴蝶效應”。混沌效應或者蝴蝶效應就是用來表述“小的改變導致整個混沌系統重大變化”的觀點。蝴蝶效應這個術語是洛倫茲提出的，他假設一只遠處的蝴蝶拍打翅膀的行為可以引起一系列的復雜事件，最終導致其他地方的一場龍卷風。洛倫茲意識到，對初始條件的敏感性是導致非周期性行為的原因。這種效應后來獲得了一個專有名詞：初始條件依賴敏感性。然而，看一下民間傳說就會發現，古代的詩人已經知道并回答了什么是混沌理論：
“因為少了一顆馬蹄釘，而丟了一個馬蹄鐵。
因為丟了一個馬蹄鐵，而少了一匹戰馬。
因為少了一匹戰馬，而缺了一個騎兵。
因為缺了一個騎兵，而輸了一場戰役。
因為輸了一場戰役，而滅亡了整個國家。”
2. 解釋混沌理論：混沌科學
正如詹姆斯·格雷克（James Gleick）在他的書《混沌》（Chaos）中所說，“在混沌開始的地方，經典科學就止步了。只要世界上有物理學家在試圖探究自然規律，TA就會在面對大氣中的無序狀態、動蕩的海洋、野生動物種群的波動、心臟和大腦的振蕩時感到特別的無知。自然界有其不規則、不連續和不穩定的一面。”
混沌科學孕育了自己的語言，包括分形、湍流、周期性、分岔、奇異吸引子、蝴蝶效應和敏感依賴等詞匯。這些詞代表了一個規則不同的世界——事物分支成奇怪的結構，遵循一種可以知道但不可能精確量化和預測的斑圖和周期性。如果通過時空連續體的棱鏡來參考，那么這個混沌世界的一切就好像是折回自身，同時成為未來和過去——它從自身汲取其周期性。混沌不是對秩序的拒絕，而是秩序的自然表達。
混沌科學似乎可以回答一些人類苦苦追尋的最基本問題。生命是如何開始的？什么是湍流？最重要的是，在一個創造更多無序的熵支配的宇宙中，秩序如何產生？以及古老的科學問題：微觀世界如何將自己編織進宏觀世界。孤立地研究一個原子或神經元時，其行為方式是一樣的，但數十億個原子和神經元的行為方式卻完全不同。這是一門解開周期性和不可預測性之間聯系的科學。
3. 什么是混沌理論？
混沌的核心是對非線性的研究，這意味著玩游戲的行為有可能改變規則本身。非線性使得對非線性事物的理解變得困難，因為不同變量之間存在錯綜復雜的變化性，從而創造了豐富而復雜的行為。例如，人們不能給摩擦力定義一個恒定的重要性，因為它的重要性取決于速度，而速度又取決于摩擦力。因此，量化非線性就像解一個魔方，每次移動它時顏色都會改變。
讓我們考慮一些最常見的日常例子：
3.1 預測天氣
過去兩個世紀技術發生了重大變革，短期內的天氣預測水平已經大大提升。但是長期天氣預測仍然是棘手的問題。大部分現代天氣預測模型，甚至是人工智能驅動的模型，都是通過分布在10-200公里范圍內的地理監測點的網格進行預測。為了確定天氣，氣象學家使用一系列微分方程來分析原始數據，其中包括露水強度、溫度、風、壓力以及其他變量。但是地面站和衛星不能觀察到所有的東西，因此對于一些起始數據，例如水分，必須通過猜測給定數值。大多數情況下，這種猜測是可靠的。
但是，假設我們能夠將設備升級到足夠精確的水平，并且用間隔僅幾英尺的傳感器覆蓋整個地球；假設每個傳感器都能給出氣象學家想要觀察的完全準確的讀數；假設一臺由人工智能驅動的量子計算機能夠接收所有這些讀數，并計算出以分鐘為間隔的天氣模式。那會發生什么？如果以上所有假設成立，我們是否能夠絕對準確地預測天氣？
我們將觀察到的是，我們仍然無法預測特定地點或長期的天氣模式。傳感器之間的空間將隱藏微觀波動——它一直延伸到量子范圍，但是計算機并不知道。這些其實只是相比于平均水平的微小偏差。但在幾分鐘內，這些波動已經在幾英尺外造成了微小的錯誤。很快，乘數效應（Multiplier Effect）將隨之而來，錯誤將累計，甚至會擴展到10英尺的距離范圍。因此，這使得人們不可能絕對準確地預測天氣。
3.2 一杯熱咖啡與混沌
熱液體是受混沌法則支配的許多流體力學過程之一。以一杯簡單的咖啡為例，我們怎樣才能計算出一杯咖啡究竟會以怎樣的速度冷卻下來？如果咖啡只是熱的，它的熱量會在沒有任何流體力學運動的情況下耗散，因此不會產生湍流。但是如果溫度上升到咖啡開始沸騰，會發生什么？
如果你仔細觀察過一杯熱咖啡，會立即注意到在飲料表面有一條暗線勾勒出的土灰色漩渦區域。這些旋轉的斑圖被稱為對流單元。它標志著熱咖啡上升到表面，而稍微冷卻的咖啡被引力拉向底部的區域。對流是一種常見的過程，當較熱的空氣或液體位于較冷的下層時就會發生。這就是咖啡杯中發生的情況：上面的咖啡因蒸發而冷卻，隨著冷卻也變得更重，被重力拉下底部。同時，底部的咖啡中較熱的部分上升到頂部以取代它。
視頻：咖啡杯中的混沌【前往“返樸”觀看視頻】
當較熱的咖啡上升到頂部時，它的一小部分水蒸發了，然后在與表面上較冷的空氣接觸時凝結。這些水滴的大小和重量恰好能讓它們留在表面。因此，在咖啡上面看起來像涂層的東西是小的云朵。水會反射光線，所以它們看起來是白色的。暗線部分是較冷的咖啡向底部沉降的地方。
漩渦可能很復雜。但最終我們能夠知道這個系統會變成什么。隨著熱量的進一步消散，同時摩擦使移動的液體變慢，杯中咖啡的內部運動肯定會停止。洛倫茲在評論這一現象時曾說："我們可能難以提前一分鐘預測咖啡的溫度，但提前一小時預測它應該沒有什么困難。“
根據教科書上的對流模型，熱的底部和冷的頂部之間的溫度差控制著系統的流動。簡單地說，熱量向頂部移動，但并不干擾液體保持靜止的趨勢。
然而，當開始加熱時可以觀察到，隨著液體變得更熱，它的體積擴大，密度降低，使其輕到足以克服摩擦并向表面上升。但如果熱量進一步增加，液體的行為會變得更加復雜。卷動的液體開始搖晃，為湍流的形成做準備。
因此，一個看似穩定的系統，當面對微小的變化時，如加熱僅0.001度，就可以在幾秒鐘內從有序對流過渡到湍流混沌——即使這種系統是確定性的，它的最終結果可以預測。然而，在短期內，系統的確定性趨勢必須向混沌讓步，使得諸如“一杯咖啡的溫度”這樣簡單的事情無法預測。這樣的系統被稱為遵循確定性的混沌，其行為原則上是可以被預測的，但“隨著時間的推移”或在更小的“時間”尺度，其不可預知性會出現。
4. 混沌斑圖
視頻：Logistic 映射【前往“返樸”觀看視頻】
自然界中的混沌斑圖就在我們身邊。這些斑圖包括但不限于流體中的分形和湍流，螺旋形或者二維曼德布洛特集合形，或像洋蔥中的嵌套層那樣普遍的事物。
自然界中的混沌是一項迷人的研究。從最小的雪花到龐大的星系，它的每一點、每個聲音和景象都在訴說著自己的故事。這不禁令人著迷，因為它有如此多的層次可以探索！從由不同材料組成的建筑結構（如磚或玻璃）內的音樂回聲，一直到諸如包含后代遺傳信息 DNA 的細胞等更小的結構，混沌無處不在。
大自然是一幅用秩序和混沌的圖案編織的毯子。讓我們探索其中的一些斑圖。
4.1 洛倫茲系統：混沌理論中的蝴蝶效應和奇異吸引子
在洛倫茲觀察到天氣模式對初始條件的敏感依賴后，他對混沌背后的數學產生了濃厚的興趣，并由此發現了著名的洛倫茲方程。1963年3月，洛倫茲寫道，他想引入求解確定性非周期流和有限幅度對流（確定性混沌）的常微分方程。洛倫茲發現，當將傅立葉級數應用于瑞利的對流方程時，除了三個變量外，其他變量都趨于零。這三個變量表現出不規則的、明顯的非周期效應。他利用這些變量構建了一個基于地球大氣二維表示的簡單模型。
他提出了一組對流微分方程，并將其簡化到極致。盡管洛倫茲系統沒有完全模擬對流，但它能夠抽象出現實世界中對流的一個特征：熱流體上升并向四處流動的循環運動過程。
洛倫茲方程如下：
dx/dt = X’ = σ(y ? x)
dy/dt = Y’ = ρx ? y ? xz
dz/dt = Z’ = xy ? βz
洛侖茲方程包含三個參數：σ， ρ， β。接下來，我們均假設這些參數都是正的。在下面所有的數值計算中，我們取 σ = 10.0， β = 8/3，ρ 是變量。這里 x、y、z 并不是指空間中的坐標。x代表平面上的對流翻轉，y和z分別代表水平和垂直的溫度變化。該模型的參數為σ，代表流體粘度與其熱導率之比；ρ 代表大氣平面頂部與底部的溫差；β 代表平面的寬度與高度之比。
洛倫茲的電腦記錄下三個變量的變化值：0-10-0；4-12-0；9-20-0；16-36-2；30-66-7；54-115-24；93-192-74。隨著預設時間間隔的推移，這三個數字先上升后下降。洛倫茲用每組的 xyz 值作為坐標繪制數據圖。這副圖顯示了當一個變量經歷有限時間內的變化時，混沌系統如何隨時間變化。過去對系統的傳統預期是，它要么會穩定下來，進入一個穩態，速度和溫度的變量將不再變化；要么可能會形成一個循環，進入一種周期性重復的行為模式。而這兩者都沒有在洛倫茲系統里出現。
洛倫茲系統
這幅圖形成了一種無限復雜的感覺，同時包含了混沌和秩序。它總是在一定的范圍內運轉，但與此同時，它從不重復自己曾經出現過的狀態。生成的混沌系統可預測地朝著相空間中的吸引子移動——但出現的不是點或簡單的環，而是奇異吸引子。奇異吸引子是混沌系統在特定相空間中的一種表現，但吸引子也存在于許多非混沌的動力系統中。
它的形狀看起來像個三維的雙螺旋，看起來像一只蝴蝶。因此被稱為蝴蝶效應。
洛倫茲吸引子（蝴蝶效應）微分方程在 Java 中的示例實現：
int i = 0;double x0, y0, z0, x1, y1, z1;double h = 0.01, a = 10.0, b = 28.0, c = 8.0 / 3.0;x0 = 0.1;y0 = 0;z0 = 0;for (i = 0; i < N; i++) {x1 = x0 + h * a * (y0 – x0);y1 = y0 + h * (x0 * (b – z0) – y0);z1 = z0 + h * (x0 * y0 – c * z0);x0 = x1;y0 = y1;z0 = z1;// Printing the coordinatesif (i > 100)System.out.println(i + ” ” + x0 + ” ” + y0 + ” ” + z0);}
洛倫茲微分方程組證明了混沌中隱藏著秩序。這種混沌本身并不能簡化為隨機性。混沌的核心終于可以被數學的詩意語言表達了。混沌背后的數學理論表明，宇宙是由復雜的系統控制的，這些系統同時產生了湍流和相干——無論是木星的大紅斑還是物種種群。蝴蝶效應就是混沌的體現。
4.2 費根鮑姆常數和混沌理論
視頻：費根鮑姆常數【前往“返樸”觀看視頻】
混沌的數學表示確立了非線性的重要性，這一特性支配著大多數自然系統，包括種群數量的增加。例如，如果1000只大象的群體每年凈增10個成員，那么種群數量的增加可以在圖表上表示為一條直線。然而，一群小鼠如果每年增加一倍的種群數量，將有一個非線性的增長模式——該圖可以表示為一條上升的曲線。十年后，由于增長的非線性特征，兩個小鼠群體（一個有22只小鼠，另一個有20只小鼠）之間的差異將膨脹到2000多只。因此，非線性增長模式常常導致動物種群規模混亂地上升和下降。
事實上，理解混沌理論最好的方法之一就是觀察動物種群。假設方程 x_next = rx (1-x) 代表種群的增長。在這里，x_next 表示下一年的種群數量，x 表示現有年份的種群數量；r 表示增長率，(1-x)表示使增長保持在一定范圍內的因素：當 x 增加時，(1-x) 下降。在這里，種群數量被表示為0到1之間的一個分數，其中0代表滅絕，1代表物種可能達到的最大種群數量。如果種群數量在一年內下降到某一水平以下，那么明年就有可能增加。但是，如果種群數量增長過快，物種內部對資源的競爭就會趨向于將其限制在一定范圍內。
經過多次初始波動后，總體將達到平衡。當r值很小時，種群逐漸滅絕。對于較大的r值，總體可能收斂于單個值。對于更大的值，它可能在兩個值之間波動，然后是四個值，以此類推。但對于更大的值，一切都變得不可預測。代表種群函數的線，最初是單一的，然后分裂成兩個、四個...... 然后進入混沌。這種情況的種群數量-r曲線產生了有趣的結果。
當r在0和1之間時，種群最終滅絕。在 r = 1 到 r = 3 之間，種群數量收斂到單一值。在r = 3.2左右時，圖分叉（分成兩個），因為在r的這個值處，種群數量不收斂于單個值，而是在兩個值之間波動。r值越大，分岔速度越快；在連續的周期翻倍之后，圖像很快變得混沌。這意味著，對于r的相應值，種群數量在隨機值之間不可預測地波動，從不表現出周期性行為。然而，仔細觀察會發現，在混沌部分之間的某些點時，圖會變得可預測。這些可以被稱為“混沌中的秩序之窗”。在最初的混沌行為之后，混沌突然消失，留下一個穩定的三周期。然后繼續加倍——6, 12, 24，再次進入混沌狀態…...圖中的混沌行為實際上是分形的。它展示了在植物和動物種群調節的簡單模型中固有的非線性如何導致混沌的行為。
超過某一點，周期性就會讓位給混沌，波動根本就不會穩定下來。圖中的整個區域都被完全遮住了。如果你繼續觀察一個由這種最簡單的非線性方程組支配的動物種群，你會發現，復雜性被隱藏為隨機性。然而，復雜性并不意味著隨機性。對于動物種群數量的每一個瘋狂的、不可控的變化，我們觀察到有一連串的事件年復一年地出現。即使參數在上升，這意味著非線性推動系統越來越難，但會突然出現一個具有固定周期的窗口：一個奇數周期，如3或7。種群數量變化的模式在3年或7年的周期中重復出現。然后，周期加倍的分叉以更快的速度重新開始，迅速通過3、6、12......或7、14、28......的周期，然后再次中斷，重新進入混沌。
種群分岔圖
放大后可以看到，上圖中的混沌部分無休止地重復著同樣的模式。分形是永無止境的。分形是無限復雜的斑圖，在不同的尺度上具有自相似性。它們是通過在一個持續的反饋循環中不斷重復一個簡單的過程而產生的。從本質上講，分形是一種永遠重復的斑圖，分形的每一部分，無論你如何放大，或縮小，它看起來都與整個圖像非常相似。在遞歸的驅動下，分形是動態混沌系統的圖像——它是混沌的圖片。正如詹姆斯·格雷克（James Gleick）所說，"這是一種看待無限的方式"。
經過調查，數學家米歇爾·費根鮑姆（Mitchell Feigenbaum）發現，當他用每個分岔段的寬度除以下一個分岔段的寬度時，它們的比率會收斂到一個常數，被稱為費根鮑姆常數，即4.6692016090。對于所有的分叉圖，無論他使用什么函數，這個數字都是一樣的。尺度是關鍵。費根鮑姆認為，（跨越不同范圍的）尺度是理解湍流等復雜現象的關鍵。費根鮑姆提出了一種稱為周期倍增的情況來描述規則動力學和混沌之間的轉變。他的建議是基于1976年生物學家羅伯特·M·梅（Robert M. May）提出的 logistic 映射，梅在研究動物種群的繁榮與蕭條模式時發現了分岔。
隨著時間的推移，復雜性的規則也被證明是普遍的，并適用于所有的動力系統，不管它們的組成部分是什么。這種行為可以通過一個簡單的系統觀察到，比如水龍頭滴水。最初，水會一滴一滴地落下。隨著水流的加速，它會成對地滴落，以此類推，然后它遵循一種混沌的行為。這種類型的行為適用于無數的混沌系統——從滴水到異常復雜的曼德布洛特集合。混沌無處不在。
4.3 曼德布洛特集合和混沌理論
視頻：曼德布洛特集合【前往“返樸”觀看視頻】
出生于波蘭的法裔美國人伯努瓦·曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）是一位對實用科學有廣泛興趣的博學者。現在人們對分形幾何的興趣很大部分是他的功勞。他展示了分形如何在數學和自然界中呈現。事實上，分形已經被用來描述經濟、金融、股票市場、天文學和計算機科學的各種行為。他在分形幾何學上的貢獻為他贏得了“分形之父”的稱號。
1961年，曼德布洛特在美國紐約州約克城高地托馬斯·J·沃森研究中心擔任研究科學家。作為一名尚未找到自己專業定位的年輕聰明學者，曼德布洛特正是那種IBM招聘時所渴求的特立獨行的知識分子。招聘任務很簡單：IBM參與了通過電話線傳輸計算機數據的工作，但一種白噪聲不斷干擾信息流，破壞信號。IBM希望曼德布洛特能對這個問題提供一個新的視角。
從孩提時代起，曼德布洛特就習慣在視覺層面思考問題，所以他沒有使用現成的分析技術，而是本能地從白噪聲產生的形狀角度來研究它——這是IBM當今著名的數據可視化實踐的早期形式。湍流的曲線圖很快揭示了一個奇特的特征。無論圖表的規模如何，無論它代表的是一天、一小時或一秒的數據，干擾的模式都驚人地相似。有一個更大的結構在起作用：一段時間的無誤信號，緊接著就是一段時間的錯誤信號。曼德布洛特發現了誤差爆發和清晰傳輸空間之間一致的幾何關系。傳輸誤差就像時間排列的康托集（Cantor set）。他將這種變化分為兩種效應，他稱之為“諾亞效應”（Noah Effect）和“約瑟效應”（Joseph Effect）。
康托集
諾亞效應意味著不連續性：當一個數量發生變化時，它幾乎可以任意地快速變化。經濟學家們傳統上認為，價格的變化是平穩的——快速或緩慢，視情況而定。但平穩的意思是，它們在從一個點到另一個點的過程中經過了所有的中間水平。這種運動的概念是從物理學中借來的，就像應用于經濟學的許多數學一樣。但這是錯誤的。價格的變化可以是瞬間的跳躍，就像一條消息在電傳電報上閃現和一千個股票經紀人可以改變他們的主意一樣迅速。曼德布洛特認為，如果假定股票在從60美元跌至10美元過程中的某一時刻必須以50美元的價格出售，那么這條股市策略注定要失敗。
約瑟效應意味著持續性。埃及遍地必來七個大豐年，隨后又要來七個荒年。當然如果《圣經》用它來隱喻周期性的話是過于簡化的。但洪水和干旱確實持續存在。盡管存在潛在的隨機性，但一個地方遭受干旱的時間越長，它就越有可能遭受更長時間的干旱。此外，對尼羅河的數學分析表明，這種持久性持續了幾個世紀，甚至幾十年。諾亞效應和約瑟夫效應推動著不同的方向，但它們加起來就是：自然界的趨勢是真實存在的，但它們來的快去的也快。
曼德布洛特后來將注意力轉向測量海岸線。英國的海岸有多長？根據曼德布洛特的說法，答案取決于人們使用的尺子。據他說，海岸線無限長。一幅圖畫在他的腦海中形成，但它是朦朧的。微觀世界和宏觀世界之間有一種斑圖聯系。當從上面放大或縮小時，巖石海岸的粗糙程度看起來是一樣的。曼德布洛特逐漸認識到，大自然傾向于在不同的測量維度上重復它的模式。
1945年，曼德布洛特的叔叔向他介紹了朱利亞（Julia）1918年的重要論文，認為這是一篇杰作，可以延伸出許多有趣的問題，但曼德布洛特并不喜歡它。事實上，他對他叔叔提出的建議十分抗拒，因為他覺得自己對數學的整個態度與他叔叔的態度是完全不同的。相反，曼德布洛特選擇了屬于他自己的非常不同的學術路線，然而，這條路線又讓他回到了朱利亞的論文。
在加斯頓·朱利亞（Gaston Julia）和皮埃爾·法圖（Pierre Fatou）之前的工作基礎上，曼德布洛特使用計算機繪制朱利亞集的圖像。通過研究這些朱利亞集的拓撲結構、棉花價格的模式、電子傳輸噪音的頻率和河流洪水的重復，曼德布洛特認識到，自然系統中的不規則模式有一種自我相似性。存在一種跨越尺度的對稱性——斑圖中還有斑圖。
曼德布洛特在加斯頓·朱利亞的工作基礎上進行研究。朱利亞集分形通常是通過初始化一個復數 z = x + yi 產生的，其中x和y是圖像像素坐標，范圍約為-2至2。經過無數次的迭代，如果z小于2，我們就說這個像素是在朱利亞集里，并相應地給它上色。對整個像素網格進行這樣的計算就可以得到一個分形圖像。
曼德布洛特將c的值設置為 x + yi，其中x和y是圖像坐標（也用于初始z值）。這就產生了曼德布洛特集合。曼德布洛特集合可以被認為是所有朱利亞集合的映射，因為它在每個位置使用不同的c，就好像在空間中從一個朱利亞集合轉換到另一個朱利亞集合。結果是一個形狀笨拙的蟲子一樣的結構，至少可以說，這是令人困惑的。更重要的是，每一個小版本都比上一個版本包含了更多復雜的細節。這些結構并不完全相同，但總體形狀驚人地相似，只是細節不同。事實證明，這些細節的具體程度只受限于計算方程的機器的能力，而類似的形狀可以永遠持續下去——在無限的尺度上揭示越來越多的細節。這是一個確定的幾何形狀，它的粗糙度是有規則和參數的，但它是一種先前未被科學界所識別的幾何形式。
曼德布洛特集合
曼德布洛特于1979年提出了曼德布洛特集。1982年，曼德布洛特在《自然界的分形幾何》中擴展并更新了他的觀點。在這本書中，曼德布洛特強調了自然界中許多分形物體的出現。他舉的最基本的例子是一棵樹。他指出，從樹干到樹枝等樹的每個部分都非常相似，但也有細微的差異，這為整棵樹的內部運作提供了越來越多的細節、復雜性和洞察力。忠實于他的學術根源，曼德布洛特基于這些自然實例提出了健全的數學理論和系統，他新創造的“分形幾何”就是基于此。
5. 混沌理論舉例
分形斑圖無處不在：在數學、工業、股票市場、氣候科學、星系、樹木，甚至在電影和游戲中也有分形的存在。事實上，多分形圖案已經在量子領域被發現——在掃描隧道顯微鏡的原子級分辨率下，材料從金屬向絕緣體的突變中，與單電子相關的波呈現了明顯的多分形圖案。讓我們來看看我們在自然界發現的一些最令人驚訝的混沌模式。
5.1 木星上的大紅斑
木星的紅斑是混沌研究中的一件藝術品。大紅斑是木星南半球的一場風暴，它的紅色云層以逆時針方向旋轉，風速超過地球上的任何風暴。地球上的颶風是由水分凝結成雨時釋放的熱量驅動的，但紅斑并不是。地球上的颶風以氣旋方向旋轉，在赤道上方逆時針旋轉，在赤道下方順時針旋轉，就像所有地球上的風暴一樣。相比之下，紅斑的旋轉是反氣旋的。而且最重要的是，颶風在幾天內就會消亡。但自1831年9月5日以來，人們一直能觀察到大紅斑。這個斑點是一個受湍流調節的自組織系統，混沌中穩定的矛盾組合創造了這個強大的風暴，這似乎沒有盡頭。
木星大紅斑
5.2 人體
從主動脈到毛細血管，人體的血管形成了另一種連續體：它們分支，分裂，再分支，直到變得非常狹窄，以至于血細胞被迫單列移動。它們分支的本質是分形的。
肺是自然分形器官的一個極好的例子。一對人類肺的體積只有4-6升，但其表面積卻能達到在50-100平方米。肺的表面積與容積比非常高，它對人體非常重要。是肺的分形結構使其具有這樣的特征，從氣管到分支頂端的肺泡一共有11個分支。分形分支幾何提供了一種使非常大的表面積變得非常緊湊的方法。在這種情況下，身體里的每個細胞都必須非常靠近血管才能獲得氧氣和營養（100微米以內）。血管的分形分支系統可以達到直徑約為8微米的程度，這也就是毛細血管的寬度。人體的血管長度可達15萬公里左右，因為人體組織每毫米約有250個毛細血管，而毛細血管的平均長度約為600微米。
同樣地，大腦的神經元也擁有分形模式。人腦由大約1000億個神經元組成，這些神經元之間有大約100萬億個突觸或連接，平均每個神經元可能要在同一時間與大約1000個細胞溝通。軸突伸出來與其他神經元的樹突進行突觸連接。正是神經元的軸突和樹突的分形分支模式使它們能夠與如此多的其他細胞交流。
事實上，癌癥物質的分形維度要高于健康細胞的分形維度。喬治·華盛頓大學數學和工程系兼職教授艾倫·彭（Alan Penn）描述了他在這一領域的工作：核磁共振乳腺成像可能改善對400萬名乳房X光檢查無效的高危婦女的診斷。核磁共振成像的臨床應用的困境是難以診斷哪些腫塊是良性的，哪些是惡性的。研究的重點是開發強大的分形維度估計，這將改善良性和惡性乳房腫塊之間的區分。
自然界中所有動物的身體結構都是分形的，它們的行為甚至時間也是分形的。我們的心跳看起來規律而有節奏，但當仔細觀察計時結構時，就會發現它有非常輕微的分形。這非常重要：我們的心跳并不是規律的，而是有重要的微小變化。這種細微的變化大大減少了心臟的磨損。就像自相似樹的樹枝一樣，健康人的心跳在統計上也是自相似的。此外，心臟病可以通過極端和無節奏的分形行為來檢測。
5.3 自然界中的分形
分形圖案在大自然中隨處可見。樹木是天然的分形斑圖，這些斑圖重復著越來越小的“復制品”，創造了森林的生物多樣性。每根樹枝，從樹干到樹梢，都是之前那根樹枝的副本。這是一個基本原則，我們在自然界整個自然系統的有機生命形式的分形結構中會反復看到。
花朵、蕨類植物、樹葉、河道、閃電、雪花是自然界分形的一些例子。Romanesco Broccoli 是花椰菜的變種，是一種極具分形的蔬菜。它的斑圖是斐波那契數列或黃金螺旋的自然表示，這是一種對數螺旋，每四分之一轉距離原點的距離都是黃金比例的一個因數。
斐波那契數列是自然界中常見而美麗的數字模式，它創造了黃金比例。蕨類植物是自相似集合的一個常見例子，這意味著它們的模式可以在任何放大或縮小的情況下用數學方法生成和復制。描述蕨類植物的數學公式以邁克爾·巴恩斯利（Michael Barnsley）的名字命名，是第一個表明混沌本質上不可預測、但通常遵循基于非線性迭代方程的確定性規則的數學公式之一。換句話說，使用Barnsley的蕨類公式反復生成的隨機數最終產生了一個獨特的蕨類形狀的物體。許多植物在生成分枝形狀和葉型時遵循簡單的遞歸公式。
各種分形的例子
河流三角洲在本質上也趨向于分形；即使在天空中，基于衛星圖片的分析也表明，從數百英里外觀測到的云具有不變的分形維數；閃電不是直線傳播的，而是遵循混沌的行為。閃電可以非常大，跨越數英里，但它在微秒內就可以形成；雷聲是分形的聲音，是由空氣過熱引起的。因為閃電的路徑在3D空間中是一個鋸齒形的分形，它到達我們耳朵所需的時間是不同的，因此我們聽到的聲音是一個分形模式。
星系是已知的最大的螺旋分形中例子。一個螺旋星系可能包含一萬億顆恒星。旋臂并不包含更多的恒星，但是，旋臂仍然更亮，因為它們包含許多由恒星形成的旋轉螺旋波形成的生命短暫的極亮恒星。恒星形成的波之所以可見，是因為它們包含許多年輕的、非常明亮的恒星，它們的壽命很短，可能只有1000萬年，而相比之下，更常見的恒星，如我們的太陽，壽命可達數十億年。
6. 量子混沌
量子混沌描述并試圖理解原子和分子中電子的波狀運動的本質（量子力學），以及電磁波和聲學等。在一定程度上，這些波就像經典力學中粒子的混沌軌跡，包括光學儀器中的光線和復雜容器中的聲波。量子混沌的研究包括動力學系統理論在量子體系中的應用。
“我們在日常生活中所經歷的宏觀世界是如何從肉眼看不見的微觀世界中顯現出來的？”這個問題，和科學本身一樣古老。在過去的100年里，理解支配“宏觀世界的經典力學是如何從支配微觀世界的量子力學中衍生出來的”這一命題變得越來越重要。雖然科學界已經取得了巨大的進步，但仍然存在許多令人困惑的問題。混沌的出現很可能是量子世界和現實世界之間的共同連接。
量子混沌研究的核心目標是描述量子系統的普遍特性，這些特性反映了基礎經典動力學的規則或混沌特征。研究人員已經觀察到，經典混沌的后一種普遍屬性與量子混沌的普遍光譜波動特征密切相關。
量子混沌最初是試圖在量子力學系統中找到混沌，即對初始條件變化的極端敏感性。這一嘗試失敗了，因為人們最終意識到，這種敏感性并不存在。然而，在此過程中，人們發現混沌（或缺乏混沌）以其他方式反映在量子系統中。
量子混沌的一個迷人特征是，它揭示了非常不同的物理系統在行為上的大量普遍性。例如，在強多重散射問題中發現的聲波強度、被稱為瑞利分布（Rayleigh）的概率密度、中子從中重核散射的截面中的埃里克森波動、以及在混沌或無序的量子點中發現的電導率波動，都可以被視為擁有一個共同的基本統計結構。因此，人們能夠看到系統之間的基本相似之處，否則這些往往會被忽略。普遍性意味著對一個系統的統計特性的許多方面缺乏敏感性，即缺乏某些種類的信息。此外，量子混沌把許多不相干的、看似不相干的概念，即經典混沌、半經典物理學和漸進方法、隨機矩陣組合、路徑積分、量子場論、安德森局域性，以意想不到的方式聯系起來。
因此，看到量子混沌在許多領域的應用就不足為奇了。這些領域包括：（1）中核和重核中的低能質子和中子共振；（2）彈道量子點；（3）介觀無序電子導體；（4）非阿貝爾規范場背景下的Dirac譜；（5）原子和分子光譜；（6）里德堡原子與分子；（7）微波驅動原子；（8）超冷原子和光學晶格；（9）光學諧振器；（10）晶體中的聲學和在海洋中遠距離傳播的聲學；（11）黎曼ζ函數和廣義L-函數；（12）退相干性和保真度研究。還有很多其他的例子。
受擊陀螺系統中的量子混沌
7. 混沌理論與意識
意識是一種涌現屬性。正如神經科學家 David Eagleman 在他的書《大腦：你的故事》中解釋的那樣，觀察意識最合適的方式不是關注各個部分，而是關注各個部分之間的相互作用。人類大腦中數百萬個神經元中的一個神經元本身就足夠簡單。它以一種完美的、可預測的方式執行其功能，即神經遞質通過突觸發送信號。通過觀察單個神經元來理解作為一個系統的意識是不可能的。重要的是神經元之間復雜的相互作用。每個神經元執行自己的簡單功能；但是，在數百萬個神經元之間的這種大規模的相互作用，產生了單個神經元無法解釋的東西：意識。
我們可以說，意識與人類大腦中分布式互動的復雜性有關。人腦的功能結構本身就是一個分形反饋循環：分形大腦產生分形意識。人類的意識與中樞神經系統的電信號密切相關。如果大腦中沒有電活動，你就會失去意識，甚至死亡。當意識出現時，大腦活動的熵會增加，而分形是高熵的，這也是一些研究人員認為我們的意識是分形的原因之一。其次，我們的中樞神經系統控制著我們身體和精神的大部分功能，它與分形有很多聯系：第一，中樞神經系統的結構是分形的；第二，中樞神經系統的信號也是分形的。
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哲學家 Kerri Welch 通過時間和記憶的鏡頭，以更全面的方式看待意識。“我認為意識是一個時間上的分形。我們每時每刻都在接收無限多的數據，每次我們壓縮處理這些數據的過程都是一次尺度上的飛躍。”Welch認為，感知時間不是一個線性的過程，而是一個“分層”過程，也就是一個分形。她認為這種“分形”會隨著我們的變化而變化：例如，嬰兒只生活在當下，不分割時間，肯定不會像成年人這般體驗時間。這就是為什么對嬰兒來說，大腦的δ波狀態——類似于成年人在深度睡眠中看到的——占主導地位。隨后，當我們成長到童年時期，我們開始看到更快的腦電波，θ腦電波……然后是α腦電波，最后是進入青春期后的β腦電波。這種對時間的分層理解與我們如何越來越多地將時間分割成越來越小的部分相對應。與此同時，“我們內部的密度也在增加。隨著年齡的增長，我們會發生轉變，接受周圍的復雜性，并在內心重新創造它。我們內部的分形維數——即內部密度——正在增加。”
哈佛大學醫學院的心臟病專家 Ary Goldberger 說得好：“我們本質上是分形的，這可能會導致你認為是我們將分形投射到世界上的，然后又看到它，并發現它很熟悉。”所以，當我們觀察和創造藝術，當我們決定什么是高級藝術時，我們實際上只是在回看我們自己嗎？創造在某種程度上是再創造嗎？”
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本文經授權轉載自微信公眾號“集智俱樂部”。
本文翻譯自 projectnile.in. 文章題目：
The Mathematical Beauty of Patterns in Chaos Theory
文章鏈接：
https://projectnile.in/2021/06/06/quantifying-the-patterns-of-chaos/
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